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2018/10/19

確率とカジノゲーム

author Peter S.

自分のチャンスを理解していますか?カジノでプレイするならば、自分のチャンスをしっかりと把握し、完璧に理解しておく必要があります。なぜ?なぜなら、確率はカジノを動かすエンジンだからです。確率がなければ、ギャンブル産業は成り立ちません。

チャンスとは、単純に何かが起こる確率のことです。確率は私たちの日常生活の中にあります。私たちが赤信号で人通りの多い道を渡ろうとすると、一定の確率で車にはねられますが、その代わりに早く渡れて時間的余裕が生まれます。

私たちがギャンブルをするときには、ある事象が起こる確率を推定して、賭け方を決めます。このような場合に確率を計算します。

💡 確率の例

例えば、4つのボールが入った袋があって、そのうち1つだけが赤で、残りの3つが青だとします。見ずに赤いボールだけを取り出す確率は4分の1。

確率の表現方法はいくつかあります。また、平均して赤のボール1個に対して青のボールを3個引くので、赤に対して3分の1の確率で勝負がつくとも言えます。

また、確率をパーセンテージで表すこともでき、ボールを引く確率が100%の場合、赤いボールを引く確率は25%となります。つまり、100÷4で25%になります。

25%の確率で引き当てることができる青いボールが3個ある場合、青いボールを引き当てる確率は75%です。

カジノゲームの確率

このカジノは、私たちの長期的な結果を考慮して、それほど良いとは言えないオッズを提供するという原則で運営されています。

風船の入った袋の例は、カジノの仕組みをわかりやすく説明しています。例えば、カジノで赤いボールを引くオッズが3だったとします。5ドルを賭けた場合、平均して4回の試行で青いボールを3回引いて15ドルを失い、4回目に赤いボールを引いて10ドルを獲得しますが、カジノでは5ドルの黒字となります。

すべてのギャンブルは確率の問題です。経験豊富なギャンブラーなら
誰でもそう言うでしょう。そのため、これらの数字に精通し、どのように対処するかを知っておくことが必要です。そこでここでは、ギャンブルにおける確率の計算方法をご紹介します。この原理を正しく理解していれば、何かの確率を計算するときにも使うことができます。

ルーレットの確率

ルーレットは、「運命の輪」のようなものです。なぜだかわかりますか?たった3つの言葉で説明できる「ビッグ・ナンバー・セオリー」。カジノを経営している人やオンラインカジノゲームを制作している人は、この理論をよく知っています。なぜなら、それは彼の収益に直結しているからだ。そのおかげで、長い目で見れば、カジノは常にベッターよりも勝っているのです。すべては確率とハウスエッジにつながっています。

📌注:記事中の数字はすべてヨーロピアンルーレットを参照していますので、37個の数字を数えます。

確率の書き方

確率の書き方はいくつかあります。最もよく知られているのはパーセンテージでしょう。これらに加えて、分数比率を使った表現も使われます。

  • パーセンテージ(%)で表示 - ここで追加することはあまりありませんが、念のため、選択したイベントのパーセンテージを表示します。算出方法は、(Part/Total)*100です。例えば、ルーレット(ストレート)で選択された番号に当たる確率:1/37*100=2.7%とすると
  • 分数を使った表現(1/x) - 分数を使って確率を表現する場合、「X回の試行のうち1回は現象が起こる」と言います。数値表現では、パーセンテージの算出に頼っています。上記の1/37の例で考えると、統計的に選ばれたルーレットの数字は、37回のスピンで1回落ちるということになります。
  • 比率による表現(x→1) - Xが発生するたびに、選択された現象が1回発生する。ここでもルーレットで選択された数字の確率にこだわります。この場合、比率は「36対1」と表記されます。つまり、36回のスピンで数字が落ちなかった場合、選ばれた数字が落ちるケースが1回あるということになります。

📌注:大きな数の理論が言うように、確率は本質的に数学的な限界です。試行回数を重ねることで、現実的に計算上の結果に近づいていきます。

このように、分数を使った表現と比率を使った表現は非常によく似ています。唯一の違いは、分数はすべてのスピンをカウントするのに対し、比率は全スピンを2つのカテゴリーに分けることです。

ルーレットの各ベットの確率表

ベット

から抜粋しています。

比率

割合

ストレートベット

1/2,055

1.055から1

48,6 %

コラム

1/3,08

2.08対1

32,4 %

The Dozen

1/3,08

2.08対1

32,4 %

シックスライン

1/6,17

5.17対1

16,2 %

コーナー

1/9,25

8.25対1

10,8 %

ストリート

1/12,33

11.33対1

8,1 %

スプリット

1/19,5

18.5対1

5,4 %

ストレート

1/37

36対1

2,7 %

ストレートベットの確率

また、選択した現象の繰り返しを数学的に比較することも面白いかもしれません。今回は、ストレートベット、具体的には赤に賭ける場合を選んでいます。では、例えば赤が5回連続で出た場合の変化確率はどうなるのでしょうか?

スピンの数

比率

割合

1

1.06対1

48,6 %

2

3.23対1

23,7 %

3

7.69対1

11,5 %

4

16.9対1

5,6 %

5

35.7対1

2,73 %

6

74.4対1

1,33 %

7

154対1

0,65 %

8

318から1

0,31 %

9

654対1

0,15 %

10

1 346から1

0,074 %

15

49 423から1

0,002 %

20

1 813 778から1

0,000055 %

このように、スピンの数が増えると、この現象が起こる確率は急激に減少します。ただし、これらの確率は現象全体を表すものであることに留意してください。乱数発生器は過去の結果を考慮しないため、赤が20回連続してヒットするゲームシリーズが1813万ゲームに1回発生したとしても、21ゲームラウンドは他のゲームラウンドと同じハウスエッジと確率(つまり48.6%)になります。

このような場合、「Player's Fallacy(プレイヤーの誤謬)」という言葉がよく使われます。これは、ある色が連続して何度もヒットした場合、次のスピンでもう一方の色がヒットする確率が高いとベッターが考えるものです。現実にはそうではありません。最も有名な例は、1913年にモンテカルロのカジノで行われたルーレットで、26回連続して黒が出たときのことです。この信じられないような連勝の間、そしてそれが終わった後も、人々は赤に夢中で賭けました。その時、カジノは大儲けしたのだ。

📌 注:ある色が26回連続でヒットする確率は0.000000730870%で、6700万ゲームに1回の割合で発生します。

ルーレットの確率を計算する方法

個々のベットのオッズをもっと知りたいですか?自分で計算してみてください。パーセンテージや確率の扱いはそれほど複雑ではありません。一般的に、最も簡単な方法は、分数から始めて、それを使ってさらにパーセントや比率を計算することです。例えば、赤が赤である状況の確率を分数で計算したい場合、次のようにします。

競技場の赤の総数/競技場の総数=18/37

1スピンの確率

ここでも、シンプルなルールが適用されます。単純に、勝利を得られるフィールドの数を計算し、それを全フィールド数で割る。

例えば、以下のように。

  • カラー - 18/37
  • スダ/ライチャ - 18/37
  • ダース - 12/37
  • 0番 - 1/37
  • 黒と偶数 - 9/37(黒と偶数の両方を持つ数字は、競技場に9個しかない
  • ダースとカラム - 4/37 (ダースとカラムには4つの数字しかない)

勝つ確率と同じように、負ける確率も計算することができます。不戦勝のフィールドの数を数えて、それをまた全フィールド数で割ればいい。例えば、赤に賭けた場合の負ける確率は、19/37(黒場18+緑場0)です。

📌 注:分数を1/xにするには、単純に分子と分母を分子で割ってください。例えば、18/37(両方の数字を18で割る)の場合、調整後は1/2.055になります。そうすると、2.055ターンごとに、1ターンで赤か黒になるということになります。

マルチスピンの確率

シングルスピンの計算をマスターしたら、マルチスピンの確率を計算するのはとても簡単です。それぞれの端数を掛け合わせるだけ。

  1. スピン - 赤に賭ける = 18/37
  2. スピン - 1ダースあたりのベット数 = 12/37

両ラウンドで勝利する確率=(18/37)*(12/37)=1/6.34または15.77%または5.34対1

  1. スピン - ストレートベット - 1/37
  2. スピン - ストレートベット - 1/37

両方のラウンドに勝利する確率=(1/37)*(1*37)=1/1369または0.073%または1368対1

  1. スピン - 黒と奇数に賭ける 9/37
  2. スピン - 均等に賭ける 18/37
  3. スピン - コラムベット 12/37

3戦全勝の確率=(9/37)*(18/37)*(12/37)=1/26.06または3.84%または25.06/1

エントリ間の実際の変換も非常に簡単です。パーセンテージは、1/xという形の分数を分割して、100を掛けることで得られます。合計の勝負所である分母から1を引くことで、X対1という形の比例表記が得られます。段落の上の例を参照してください。

サイコロの確率

クラップスもまた、比較的簡単にオッズを計算できるチャンスゲームです。クラップスの勝率を計算する前に、サイコロの出目そのものの確率を見てみましょう。

サイコロの面は6面。そのため、どの数字も落ちる確率は1/6となります。クラップスは、伝統的に2つのサイコロを使ってプレイされます。したがって、2つの数字が組み合わさる確率は2/36です。しかし、クラップスでは、特定の数字にはあまり興味がなく、それらの数字の合計がより重要になります。ここでも、「勝ちの組み合わせの数/すべての組み合わせの数」という計算式を使います。

例えば、7の和の確率を知りたいとしましょう。 当たりの組み合わせは、(1-6)、(2-4)、(3-3)、(4-2)、(6-1)です。ご覧のように、2つのサイコロで7の和が出る組み合わせは全部で6種類あります。そして、すべての組み合わせの数は36なので、7の確率は6/36=0.1666となります。

このようにして、他のすべての可能な結果を簡単に計算することができます。

合計

確率

2

1/36

3

2/36

4

3/36

5

4/36

6

5/36

7

6/36

8

5/36

9

4/36

10

3/36

11

2/36

12

1/36

クラップスでの勝利の確率

簡単に言えば、サイコロのルールを見てみましょう。最も一般的なベットはパスラインです。

  • 7か11が出れば、あなたの勝ちです。
  • 2、3、12のいずれかが出たら負け
  • その他のケース(4、5、6、8、9、10)では、ポイントが決定され、そのポイントが再び転がる(勝ち)か、7が転がる(負け)まで転がされます。

ポイントを決める前に、まず勝つ確率を計算します。7に当たる確率は6/36、11に当たる確率は2/36です。この2つの分数を足すと、3/36+2/36=2/9=0.2222となります。

次に、ポイントが決定した場合について説明します。つまり、ポイントが4、5、6、8、9、10の場合です。まずは、合計4つにしましょう。

4が出た場合は1点が確定し、4か7が出るまでロールします。ここからは、条件付き確率の領域に入ります。これは、事象Bが同時に発生した場合に、事象Aが発生する確率を示すものです。今回の例では、ラウンド終了時に(4か7が出て)勝つ(4が出る)確率を何倍にするかということになります。そして、これらの値を計算式に差し込みます。

イメージ

  • P(A)=4の滝の合計:3/36
  • P(A∩B)=調整後はAに等しいことがわかります。
  • P(B) = フォールズ4または7:3/36 + 6/36 = 9/36

次のようになります。

  • P(4|4 or 7) = (3/36)/(9/36) = 1/3

同様にして、5、6、8、9、10の合計を計算します。

  • P(5|5 or 7) = (4/36)/(10/36) = 2/5
  • P(6|6 or 7) = (5/36)/(11/36) = 5/11
  • P(8|8 or 7) = (5/36)/(11/36) = 5/11
  • P(9|9 or 7) = (4/36)/(10/36) = 2/5
  • P(10|10 or 7) = (3/36)/(9/36) = 1/3

これで、当選確率は、ポイントが決定した最初のロールと、次のロールで当選した場合の確率として計算できます。

  • 元のロール 4 x P(4|4 or 7) = 3/36 x 1/3 = 1/36
  • 元のロール 5 x P(5|5 or 7) = 4/36 x 2/5 = 2/45
  • 元のロール 6 x P(6|6 or 7) = 5/36 x 5/11 = 25/396
  • 元のロール 8 x P(8|8 or 7) = 5/36 x 5/11 = 25/396
  • 元のロール 9 x P(9|9 or 7) = 4/36 x 2/5 = 2/45
  • 元のロール 10 x P(10|10 or 7) = 3/36 x 1/3 = 1/36

これらの分数は、最初のロールが4、5、6、8、9、10のいずれかであった場合の当選確率を示しています。パスラインベットで勝つ確率の合計を知りたい場合は、それらをすべて足して、ポイントの前に勝つ確率(7か11を出す-2/9)を加える必要があります。

2/9 + 1/36 + 2/45 + 25/396 + 25/396 + 2/45 + 1/36 = 244/495

244/495はちょうど49.3%ですから。50%弱ですね。むしろ、1分の1の配当でこれ以上の勝率はないのではないでしょうか。カードを数えられるなら、ブラックジャック以外はね。

ブラックジャックの確率

ブラックジャックはオッズが最も重要なチャンスのゲームです。ブラックジャックでは、自分の技術と知識でハウスエッジに影響を与えることができます。そのための最適な戦略を知っていればいいし、カードの数え方を知っていれば、プレイヤーのアドバンテージでプレイすることだってできる。実際には、具体的な確率をすべて知る必要はありません。なぜなら、これらの計算は、ブラックジャックのすべての戦術や戦略を考え出したあなた以前の数学者たちによってすでに行われているからです。

しかし,興味のために,ブラックジャックにおけるいくつかの重要な現象について,確率を計算する方法を紹介します。

確率の問題をカードの山から見てみると、可能な結果の数がどんどん増えていくことがわかります。ブラックジャックは52枚のカード、4つのスート、13のバリューからなるデッキでプレイします。これにより、次のようなオッズが得られます。

  • 山札(または個々のカード)からエースを引いた:4/52=0.0769 (7.69%)
  • 山札からスペードを1枚引く:13/52=0.25(25%)

しかし、例えばコイントスやルーレット、スロットマシンなどと違って、カードのデッキには「記憶」のようなものがあります。というか、過去の結果が現在や未来の動きに影響を与えるということです。これは、山札からカードが1枚落ちたことで、スタート時の状況が変わってしまったためです。52枚のデッキから最初に引いたカードがエース(7.69%の確率)だった場合を例に見てみましょう。エースが2枚目のカードとして再び引き出される確率は、これまでとは異なります。最初のドローの後、エースの数は3に、カードの数は51に減っています

ブラックジャック・ナチュラルの確率

すべてのプレイヤーがまず興味を持つのは、ブラックジャックの確率です。つまり、あるプレイヤーがラウンド開始直後にエースと10のカードを手にする確率、つまり、ナチュラルを手にする確率はどのくらいかということです。

この状況は2つの方法で発生し、その2つの方法を足すと、ブラックジャックのオッズになります。

📌注:シングルデックのブラックジャックでカウントしています。つまり、52枚のカードで、エースが4枚、10が16枚。ディーラーのカードは見えませんので、確率には影響しません。

  1. プレイヤーは最初のエースと10枚のカードを受け取り

プレイヤーは最初のエースカードを4/52の確率で配られます。つまり、プレイヤーは2枚目のカードを10にしなければならず、そのためのオッズは16/51となります。この2つの確率を掛け合わせて16/663とする必要があります。

  1. プレイヤーは最初の10カードとエースを受け取り

プレイヤーが最初に10の値のカードを受け取る確率は、16/52です。その後、プレイヤーがエースを獲得する確率は4/51です。掛け算をすると、16/663となります。

ブラックジャックが出る確率を知りたければ、この2つの現象を足すだけです。つまり、16/663 + 16/663 = 32/663 = 4.827%となります。つまり、プレイヤーがブラックジャックを手にするのは、約20回に1回ということになります。マルチデッキテーブルの場合も同様の方法で確率を計算することができます。

パッケージ数

確率

1

4,827 %

2

4,780 %

3

4,764 %

4

4,757 %

5

4,752 %

6

4,749 %

バストの確率

また、バストの確率を知るのも面白いかもしれません。ここでも、シングルデッキのテーブルでディーラーだけとプレイする場合を例に挙げて説明します。非常に簡単な例として、プレイヤーが10の値を持つカードを2枚持っていて、合計で20点を持っている場合を考えてみましょう。プレイヤーが3枚目のカードを手に入れた状況では、すでに山札から3枚のカードが出されています。これで、デッキには49枚のカードが残りました。この49枚のカードのうち、4枚のエースだけがあなたを助けてくれます。この49枚のうち、45枚は不要なカードです。したがって、バストの確率は45/49=0.9183673となります。

他の確率も同様に計算できます。常に状況を正しく想像できるようにしておく必要があります。以上です。

手の価値

バストの確率

21

100 %

20

92 %

19

85 %

18

77 %

17

69 %

16

62 %

15

58 %

14

56 %

13

39 %

12

31 %

11少ない

0 %

次に、それぞれのカードについて、ディーラーがバストする可能性を見てみましょう。

手の価値

バストの確率

2

35,30 %

3

37,56 %

4

40,28 %

5

42,89 %

6

42,08 %

7

25,99 %

8

23,86 %

9

23,34 %

10、J、Q、K

21,43 %

エース

11,65 %

ポーカーの確率

ポーカーも確率が非常に重要なカードゲームです。とりわけ。では、ポーカーでのチャンスは何かを考えてみましょう。

プリフロップの確率

さて、トランプにおける確率の仕組みを説明しましたが、ここからは実際の応用編になります。まず、手札のペアがなくなる確率の計算方法を紹介します。例えば、話題になったAces)。この場合、確率を掛け合わせる必要があります。

(4/52) x (3/51) = (12/2652) = (1/221) = 0,004524 (0,45 %)

📌注:1時間に約30ハンドを配るカジノでポーカーをプレイした場合、7時間半のプレイに1回エースのペアが出てきます。

では、ディール時に13組のペアが揃う可能性はどのくらいでしょうか?確率は、個々のペアごとに1/221であると仮定できます(上の式を参照)。このペアは全部で13個できるので、計算式は13/221=0.0588となります。そのため、35試合に1回くらいの割合でペアを作ることができます。

ポーカーのプレイヤー対プレイヤーの確率

しかし、ポーカーは多人数で行うゲームであり、通常はお互いに対戦します。そこでここでは、プリフロップでよくある状況を選んでみました。

あなたの手

相手の手札

勝利の確率

ハイペア

ローカード2枚

83 %

ハイペア

ローペア

82 %

ミドルペア

ハイ、ローカード

71 %

ハイカード2枚

ローカード2枚

63 %

ハイカード2枚

ローペア

55 %

アウト」による確率の算出

もしフロップでカードを見ることができたら、自分のハンドを向上させるチャンスは何なのか、さらに興味が湧くことは間違いありません。今回は、いわゆる「アウト」についてお話します。ポーカーでは、自分を助けてくれるカードのことを指します。そんなよくあるケースは、プレイヤーがあるスーツのカードを2枚持っていて、さらに同じスーツのカードが2枚フロップに現れた場合です。その後、プレイヤーはフラッシュするための4枚のカードを持っているので、9枚のアウトがあり、フラッシュを形成するための9枚のカードが残ります。

アウト数

フロップ - ターン

ターン - リバー

ターン・ア・リバー

20

42,6 %

43,5 %

67,5 %

19

40,4 %

41,3 %

65,0 %

18

38,3 %

39,1 %

62,4 %

17

36,2 %

37,0 %

59,8 %

16

34,0 %

34,8 %

57,0 %

15

31,9 %

32,6 %

54,1 %

14

29,8 %

30,4 %

51,2 %

13

27,7 %

28,3 %

48,1 %

12

25,5 %

26,1 %

45,0 %

11

23,4 %

23,9 %

41,7 %

10

21,3 %

21,7 %

38,4 %

9

19,1 %

19,6 %

35,0 %

8

17,0 %

17,4 %

31,5 %

7

14,9 %

15,2 %

27,8 %

6

12,8 %

13,0 %

24,1 %

5

10,6 %

10,9 %

20,3 %

4

8,5 %

8,7 %

16,5 %

3

6,4 %

6,5 %

12,5 %

2

4,3 %

4,3 %

8,4 %

1

2,1 %

2,2 %

4,3 %

📌注:アウトの確率を計算するには、とても簡単な方法がありますので、テーブルですぐに計算することができます。一般的には「4と2」の法則と呼ばれています。フロップの後、プレイヤーは単純にアウトの数を4倍して、ターンとリバーの確率を求めます。ターンでカードが出なかった場合は、アウトの数を2倍して、リバーでカードが出るおおよその確率を算出します。

ここでも、フロップ後に同じスーツのカードを4枚持っている場合を例に挙げます。つまり、あなたのアウトは9枚で、ターンとリバーの後にフラッシュになる確率は36%(9x4)です。ターンでカードが出なかったとします。この場合、アウトを2倍すると、リバーでスートのカードがなくなる確率は18%(9×2)となります。表を見比べていただければわかるように、この方法は実にシンプルですが、一方で不正確ではありますが、使うことができます。

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